Перечислительная геометрия и грассманианы
Михаил расскажет про очень интересную тему на стыке классической, школьной геометрии и высшей математики. Мини-курс состоит из двух лекций.
Перечислительная геометрия - классический раздел геометрии, отвечающий на вопросы вида "сколько геометрических объектов данного вида удовлетворяет данному набору условий". Например, задача Аполлония утверждает, что в евклидовой плоскости существует 8 или меньше окружностей, касающихся трех данных окружностей.
Близким разделом геометрии является теория пересечений, которая занимается вопросами о том, как посчитать число точек, лежащих на пересечении набора поверхностей в многомерном пространстве. Например, теорема Безу говорит, что две кривые в проективной плоскости степеней k и l пересекаются в общем случае в k*l точках.
Для изучения перечислительных задач про прямые в пространстве были введены так называемые грассманианы - пространства, точки которых соответствуют k-мерным плоскостям в n-мерном пространстве. Они являются важными объектами в алгебраической геометрии, топологии и многих других разделах математики.
На первой лекции я напомню необходимые понятия из проективной геометрии, определю грассманианы и расскажу об их проективной геометрии. Я в деталях рассмотрю первый нетривиальный пример -- Gr(2, 4), параметризующий плоскости в 4-мерном пространстве (или проективные прямые в проективном пространстве) и покажу, как с его помощью решать некоторые перечислительные задачи.
Пререквизиты: основы линейной алгебры (базовые понятия про векторные пространства над комплексными числами) и знакомство с элементарной проективной геометрией.
Материалы
Перечислительная геометрия - классический раздел геометрии, отвечающий на вопросы вида "сколько геометрических объектов данного вида удовлетворяет данному набору условий". Например, задача Аполлония утверждает, что в евклидовой плоскости существует 8 или меньше окружностей, касающихся трех данных окружностей.
Близким разделом геометрии является теория пересечений, которая занимается вопросами о том, как посчитать число точек, лежащих на пересечении набора поверхностей в многомерном пространстве. Например, теорема Безу говорит, что две кривые в проективной плоскости степеней k и l пересекаются в общем случае в k*l точках.
Для изучения перечислительных задач про прямые в пространстве были введены так называемые грассманианы - пространства, точки которых соответствуют k-мерным плоскостям в n-мерном пространстве. Они являются важными объектами в алгебраической геометрии, топологии и многих других разделах математики.
На первой лекции я напомню необходимые понятия из проективной геометрии, определю грассманианы и расскажу об их проективной геометрии. Я в деталях рассмотрю первый нетривиальный пример -- Gr(2, 4), параметризующий плоскости в 4-мерном пространстве (или проективные прямые в проективном пространстве) и покажу, как с его помощью решать некоторые перечислительные задачи.
Пререквизиты: основы линейной алгебры (базовые понятия про векторные пространства над комплексными числами) и знакомство с элементарной проективной геометрией.
Материалы
